Ðề: Tiêu chuẩn Galerkin

Trước hết, xin cám ơn LHC đã có một bài trả lời rất đơn giản và khá dễ hiểu (em xin phép được nói thế vì thật sự em cũng hổng hiểu lắm ). Sau khi ngâm cứu một mớ sách về PTHH cả tiếng ta lẫn tiếng tây, em đã tìm được quyển "PP sai phân và phương pháp phần tử hữu hạn" của tác giả Tạ Văn Đĩnh. Em thấy quyển này hay nhất vì một kẻ ngoại đạo như em có thể bắt chước và mò ra được cách tính các phần tử trong ma trận cứng của các bài toán, mặc dù em chẳng có chút khái niệm gì về hàm thử, hàm mái nhà hay bài toán yếu, nghiệm suy rộng... gì suất, mà em cũng chả thấy chỗ nào đề cập đến tiêu chuẩn Galerkin cả. Xin quí vị sư huynh chỉ giáo giùm là em đem cái tư tưởng này đi học CFD thì có tốt nghiệp được hôn? Vì em căm thù môn toán, em lao vào học môn này chỉ để tống khứ bớt các phương trình toán học ra khỏi lãnh địa hóa học đẹp đẽ của em cho mấy em mấy cháu sau này được nhờ thôi . Và xin lỗi đã chen ngang vô chỗ mấy anh xây dựng đẹp trai

PP PTHH: ai cũng hiểu chỉ một người không hiểu, hixxx...

Ðề: Tiêu chuẩn Galerkin


Tôi xin được giải thích một cách đơn giản và đầy đủ hơn thông qua ví dụ cụ thể, đơn thuần về toán rồi sau đó sẽ liên hệ với PTHH. Hy vọng các bạn SV cũng có thể đọc và có một số khái niệm cơ bản.

PP Galerkin là một trong những phương pháp "Weighted Residuals" ( , (tôi không biết dịch ra tiếng VN thế nào, bác nào đọc xong có cao kiến về cách dịch thì post lên để anh em thưởng thức).

Ví dụ cho phương trình vi phân y'-x=0 trong đọan từ 0 đến 1 với y(0)=0. Giả sử tôi không biết giải PT vi phân nhưng tôi muốn tìm một hàm y1 nào đó càng gần với lời giải chính xác càng tốt. Trước hết tôi phải chọn một dạng hàm, ví dụ y1=ax hay y1=a cosx..., ở đây chọn y=ax. Vấn đề còn lại là tìm giá trị của a sao cho hàm y1 là "gần đúng nhất". Nhưng lại nảy sinh ra vấn đề: thế nào là "gần đúng nhất". Có người muốn y1 phải thỏa mãn PT vi phân đã cho tại điểm giữa đoạn (0,1). Có người muốn rằng tính trung bình ra thi sự khác nhau giữa nghiệm gần đúng và ngiệm đúng là nhỏ nhất..... Chính từ đây phát sinh ra một số phương pháp khác nhau gọi chung là các phương pháp "Weighted Residuals".

- Phương pháp "Collocation": Anh này muốn PT vi phân được thỏa mãn tại một (số) điểm nào đó, ví dụ tại x=0.3. Ta tìm a để hàm y1=ax thỏa mãn sở thích đó: y1'=a, PT vi phân trở thành: a-0.3=0 => a=0.3. Vậy y1= 0.3x là hàm tốt nhất đối với người này.

- PP "Subdomain": Anh này đưa ra tiêu chuẩn là trung bình thì vế trái (y'-a) là bằng 0 trong đoạn (0,1). Tức là: tichphan(y'-x) tu 0 den 1 =0. Vậy ta có (a.1-1^2/2)=0 => a=0.5. => y1= 0.5x.

- Có anh lại muốn bình phương của vế trái là nhỏ nhất trong đoạn (0,1) hoặc tại một (số) điểm nào đó. Khi đó ta có PP "least squares" hoặc "least square collocation".

- Trong các phương pháp trên, ta có thể nói mỗi phương pháp coi một tiêu chuẩn nào đó hoặc một điểm nào đó la quan trọng rồi tìm hàm gần đúng tốt nhất cho tiêu chuẩn đó. Chính vì thế mà có các khái niệm "trọng số" (weighted functions). Cái hàm "y=x" trong trường hợp này gọi là hàm "thử nghiệm" (trial functions). Mấy khái niệm này các bác Phu Hồ, Tran Duc Cuong và Pham đã bàn ở trên. Còn cái đại lượng (y'-x) thì gọi là "residual", nôm na là cái phần "dư".

- Còn cụ Galerkin nhà ta (Liên Xô mà) thì muốn thế này: Chỗ nào hàm "thử nghiệm" (y=x) càng lớn thì càng quan trọng (hay đấy chứ?) Điều này có nghĩa là đem chính cái hàm thử nghiệm (trial function) nhân với cái phần dư (residual). Rồi lấy trung bình trên đoạn (0,1) cho nó bằng 0. Điều này bác Phu Hồ đã nói ở trên: "weighting function" và "trial function" được chọn giống nhau. Ta thử xem kết quả thế nào: tichphan(a-x)*x tu (0-1)=a/2-1/3 => a=2/3.
Nếu các bạn vẽ đồ thị các kết quả gần đúng và so với kết quả chính xác thì sẽ thấy cụ Galerkin nhà ta hay thế nào. Chính vì thế mà Galerkin la PP được áp dụng nhiều nhất trong việc thiết lập công thức cho PTHH cho tới bây giờ.

Cần nói thêm là trong ví dụ trên đây ta chỉ xét một hàm thử nghiệm. Nếu dùng tổ hợp (tuyến tính) của một số hàm thử nghiệm thì kết quả sẽ chính xác hơn nhiều. Khi đó ta sẽ phải giải một hệ pt tuyến tính để tìm a1, a2... Nếu ta dùng các hàm thử nghiệm có dạng gần với lời giải chính xác thì cũng sẽ được kết quả tốt hơn.

Trên đây là phần thiên về toán. Còn bây giờ xin nói về sự liên quan của nó đến PP PTHH. Ve lý thuyết mà nói thì PP "weighted residuals" ở trên có thể áp dụng cho cả một kết cấu (người ta gọi la "miền" (domain) cho nó oai). Chọn một số hàm thử nghiệm nào đó gần giống với chuyển vj thực của kết cấu rồi tổ hợp các hàm đó lại và giải gần đúng các hệ số tổ hợp ta sẽ có được kết quả gần đúng của chuyển vị của toàn hệ. Tuy nhiên kết cấu thực tế quá phức tạp nên mới sinh ra cái chuyện phải cắt nó ra thành từng mảnh nhỏ gọi là phần tử HH (finite elements) rồi giải gần đúng cho từng phần tử (subdomain) sau đó tổ hợp các kết quả lại để có được lời giải cho toàn kết cấu.

Việc giải gần đúng cho từng mảnh nhỏ thì rất giống với ví dụ ở trên với những đặc trưng sau đây: Các hàm thử nghiệm (trial functions) được chọn lựa và biến đổi sao cho mỗi hàm tương ứng với một chuyển vị nút (hay còn gọi la bậc tự do) để khi lấy chuyển vị nút nhân với các hàm đó và tổ hợp lại thì sẽ được chuyển vị của tất cả các điểm trong phần tử đó. (chính vì thế ma nó được gọi là hàm nội suy "interpolation function" như bác Phu Hồ đã nhắc đến.) Việc giải gần đúng (VD theo PP Galerkin) sẽ dẫn đến việc giải một hệ PT tuyến tính mà người ta quen viết dưới dạng [k]{d}={f} trong dó [k] là ma trận độ cứng, {d} là vector chuyển vị và {f} là vector lực. Tóm lại Galerkin giúp xây dụng ma trận độ cứng và vector lục nút tương đương cho một phần tử.

Việc lắp ráp các phần tử nhỏ lại với nhau để thành một kết cấu thực ra lai không được cho là thuộc PP PTHH mà thuộc về cơ học kết cấu thông thường, gọi là PP "ma trận độ cứng" (stiffness matrix method.) Kể ra cũng đúng vì nó đơn giản chỉ là thế này: cộng tất cả các lực tác dụng vào từng nút, bao gồm lực do độ cứng của phần tử gây ra khi có chuyển vị nút, lục nút tương đương của ngoại lực trên các phần tử và lực đặt trực tiếp lên nút. Sau đó cho nó bằng 0 (equilibrium). Chú ý đến việc các phần tử nối vào cùng một nút thì có các chuyển vị nút tương ứng là bằng nhau (compatibility). Sắp xếp một chút cho nó có dạng gọn gàng hơn: [k]{d}={f} và giải ra thế là xong.

Tôi nói thế không có ý cho PP PTHH đơn giản. Những gì tôi nói trên đây chỉ là khái niệm cốt lõi nhất. Còn nhiều thứ liên quan đến các PP tính mà nếu tôi đọc chắc cũng sẽ nói như bạn windy_fami là "Chắc em vào nhầm room".

Ðề: Tiêu chuẩn Galerkin

Các bác nào muốn tìm hiểu sâu về PPPTHH thì mail cho tôi nhé, tôi gửi tài liệu cho. Tài liệu bằng tiếng Anh.
ngquanghiep@walla.com

Ðề: Tiêu chuẩn Galerkin

Thay ui, vao trong Knovel thi phai lay hom thu la gi thi no moi cho load sach ve vay, em lay yahoo.com la no bao khong duoc!

Ðề: Tiêu chuẩn Galerkin

Hí Em vao nham.Em chang hieu cac anh noi gi ca,

Ngắn gọn như sau
Yêu cầu: Giải phương trình cân bằng L(u)=0 trong miền D khi biết điều kiện biên.
Cách làm:
Tích phân trong D của (L(u).v)=0 với mọi v C.A (v thỏa mãn điều kiện biên) -> công thức variationnel.
Giới hạn giải phương trình variationnel trong một không gian hàm số con nào đó(VD không gian các hàm sin, không gian đa thức bậc n, etc,...) mà thỏa mãn điều kiện biên.

Đúng là mới đầu nhìn chữ tiêu chuẩn Galerkin cũng thấy phân vân tệ Tưởng bác Galerkin dạo này rỗi rãi lại ngồi nghĩ ra tiêu chuẩn gì nữa cho anh em đây. Trial là viết tắt của trial and error, dịch đúng ra phải là phương pháp thử dần (nghiệm thử nghe còn ổn ổn chứ trắc nghiệm thì tớ chắc là ko đúng rồi đ/c Cường ơi ). Weighing function gọi là hàm trọng số nghe hơi tối nghĩa (mặc dù tôi cũng chưa biết nên dịch là gì) - cái này cứ nợ đây đã để khi nào nghĩ ra sẽ vào báo cáo sếp phú hộ sau vậy .

to abasa: yên tâm phương pháp Galerkin không phải là một phương pháp đặc biệt gì đâu. Bình thường thì cách bạn rời rạc hóa bằng PTHH chính là bạn dùng phương pháp Galerkin đấy, chỉ trong các bài toán đặc biệt người ta mới dùng các cách "không phải Galerkin" thôi (Petrov-Galerkin chẳng hạn...). Tài liệu tham khảo thì bạn có thể xem ở đây này:

http://www.ketcau.com/showthread.php?t=606

to Cường: cảm ơn Cường nhưng thế sách PTHH ở nhà họ có có dịch như thế không thì để anh còn gọi theo ?

Cám ơn anh, em đang nói về phương pháp PTHH đó, xin anh chỉ giúp có thể kiếm sách tham khảo ở đâu ạ!

Không biết bạn abasa nói đến "tiêu chuẩn Galerkin" trong sách về vấn đề gì thế ? Nếu bạn nói về PTHH thì nói một cách nôm na, phương pháp Galerkin là phương pháp rời rạc mà trong đó trial solution và weighting function (hay variational function) sử dụng cùng một hàm nội suy.

(Xin lỗi vì không dùng từ tiếng Việt được cho rành mạch, bác nào nói hộ tôi mấy cái từ trên kia được dịch là gì thì hay quá)